基礎編　単元03データから係数を求める

基礎編　単元03

選択の記録から，
係数を求める．

単元02では，説明用に置いた係数で選択確率を計算しました．ここでは，実際に選ばれた手段に与える確率が係数によって変わることを使い，記録全体を最もよく説明する係数を求めます．

目安: 約12分
操作: 2つ

この単元で求めるもの

ロジットモデルの係数を，選択の記録から求めます．

単元02では，β_t＝−0.08，β_p＝−0.004 を説明用に置いて，三つの手段の確率を計算しました．実際の分析では，この係数を選択の記録から求めます．選択データから係数を求めることを，推定と呼びます．

手がかりは，係数を変えると，実際に選ばれた手段に与える確率も変わることです．記録された選択に高い確率を与える係数ほど，記録をよく説明していると考えます．

係数を決める
β_t，β_p
確率を計算する
ロジットモデル
記録と比べる
実際に選ばれた手段の確率

P_鉄道＝exp(V_鉄道)exp(V_鉄道) ＋ exp(V_バス) ＋ exp(V_自転車)

V＝β_tt＋β_pp の係数を変えると，三つのVが変わり，確率も変わります．

選択の記録から考える

5人の選択記録から，
所要時間の係数を求めます．

まず，係数を求める手順を，所要時間だけを使うモデルで確認します．効用のうち，所要時間から表す部分Vを，次の式で計算します．

V ＝ β × 所要時間

求める係数は，所要時間が選択にどう関わるかを表すβの一つです．

下の表には，5人それぞれについて，各手段の所要時間と，実際に選んだ手段が記録されています．各手段の選択確率を計算するには，三つすべてのVが必要になるため，選ばれなかった手段の時間も使います．

説明用の5人の記録｜太字は選んだ手段
人	鉄道（分）	バス（分）	自転車（分）	選んだ手段
1	10	15	15	鉄道
2	15	15	15	自転車
3	20	15	20	バス
4	10	5	20	鉄道
5	15	10	10	バス

この記録を使って，どのようにβを求めるのかを見ていきます．

係数を変えてみる

係数を変えると，
選ばれた手段の確率が変わります．

係数βを動かし，5人それぞれが実際に選んだ手段の確率Pがどう変わるかを見てください．

時間の係数 β（効用/分）-0.1

変わったところ

所要時間（分）．太字は選んだ手段
人	鉄道	バス	自転車	選んだ手段	P
1	10	15	15	鉄道	−
2	15	15	15	自転車	−
3	20	15	20	バス	−
4	10	5	20	鉄道	−
5	15	10	10	バス	−

記録全体の起こりやすさ

5人分の確率を掛けた値が，
尤度です．

一人ひとりの選択は独立と仮定し，5人が実際に選んだ手段の確率Pを掛け合わせます．この値を尤度（ゆうど）と呼びます．

尤度は，記録全体が，その係数のもとでどれだけ起こりやすいかを表します．尤度が大きい係数ほど，記録をよく説明していると考えます．

尤度＝ P₁ × P₂ × P₃ × P₄ × P₅

P_n: n番目の人が実際に選んだ手段の確率．

例：β＝−0.10 のとき，尤度＝ 0.452 × 0.333 × 0.452 × 0.331 × 0.384 ＝ 0.0087

掛ける数が増えるほど尤度はとても小さくなります．そのため，次の画面では対数をとって扱います．

最尤推定

対数尤度が最大になる係数を求めます．

確率の積はとても小さくなるため，対数をとった対数尤度を使います．対数尤度が最大になる β＝−0.28 を推定値とする方法が最尤推定です．5人に共通の一つの係数で，記録全体の対数尤度を最大にします．

対数尤度＝ ln P₁ ＋ … ＋ ln P₅

時間の係数 β（効用/分）-0.1

読み取れること

まとめ

選択の記録全体を最もよく説明する係数を，最尤推定で求めます．

係数を変えると，実際に選ばれた手段の確率が変わります．一人ひとりの確率を掛けた尤度（対数をとった対数尤度）が最大になる共通の係数が，推定値です．

次の学習

係数が複数ある式は，どう書いて推定すればよいでしょうか．次の演習で，旅行先を選んだ300人の記録を使って，自分で効用関数を書いて推定します．

演習へ進む（単元04）補講：選択データの形式

参考：Train, K. E. (2009) Ch.3．岩倉成志『交通計画』講義資料第6回（5人の例題）．

選択の記録から，係数を求める．